Pełne badanie funkcji i rachunku różniczkowego

Po otrzymaniu rozległej wiedzy w zakresie pracy z funkcjami, myuzbrojony w wystarczający zestaw narzędzi umożliwiający pełne przestudiowanie specyficznie określonej matematycznej regularności w postaci formuły (funkcji). Oczywiście można pójść w najprostszy, ale żmudny sposób. Na przykład określ granice argumentu, wybierz interwał, obliczyć wartości funkcji na nim i wykreślić wykres. Dzięki wydajnym nowoczesnym systemom komputerowym problem ten rozwiązuje się w ciągu kilku sekund. Ale aby usunąć z ich arsenału pełne przestudiowanie funkcji matematyki nie spieszy się, ponieważ dzięki tym metodom można ocenić poprawność działania systemów komputerowych w rozwiązywaniu podobnych problemów. Przy mechanicznej konstrukcji wykresu nie możemy zagwarantować dokładności przedziału określonego powyżej przy wyborze argumentu.

I dopiero po przeprowadzeniu pełnego badania funkcji, można być pewnym, że wszystkie niuanse "zachowania" są brane pod uwagę nie w okresie próbkowania, ale w całym zakresie argumentacji.

Aby rozwiązać różnorodne zadania w dziedzinachfizyki, matematyki i technologii, konieczne staje się zbadanie funkcjonalnej zależności między zmiennymi biorącymi udział w rozpatrywanym zjawisku. Ten ostatni, analizowany analitycznie za pomocą jednego lub zestawu kilku formuł, pozwala nam przeprowadzać badania za pomocą metod analizy matematycznej.

Przeprowadzenie pełnego badania funkcji polega na znalezieniu i ustaleniu obszarów, w których wzrasta (maleje), gdzie osiąga maksimum (minimum), a także innych cech jego harmonogramu.

Istnieją pewne schematy, na podstawie którychprzeprowadzane jest pełne badanie funkcji. Przykłady list przeprowadzonych badań matematycznych są ograniczone do znalezienia niemal identycznych momentów. Przybliżony plan analizy obejmuje następujące badania:

- znaleźć domenę definicji funkcji, zbadać zachowanie w jej granicach;

- Znajdujemy punkty nieciągłości w klasyfikacji za pomocą jednostronnych ograniczeń;

- wykonujemy definicję asymptot;

- znajdujemy ekstremalne punkty i przedziały monotoniczności;

- Ustalamy punkty przegięcia, odstępy wklęsłości i wypukłości;

- wykonujemy budowę wykresu na podstawie wyników uzyskanych podczas badań.

Rozważając tylko niektóre punkty tegoNależy zauważyć, że rachunek różniczkowy okazał się bardzo skutecznym narzędziem do badania funkcji. Istnieją raczej proste połączenia między zachowaniem funkcji a charakterystyką jej pochodnej. Aby rozwiązać ten problem, wystarczy obliczyć pierwszą i drugą pochodną.

Rozważmy kolejność znalezienia przedziałów spadku, zwiększenie funkcji, otrzymali również nazwę przedziałów monotoniczności.

W tym celu wystarczy określić znak pierwszegopochodna w pewnym przedziale. Jeśli w segmencie jest stale większa niż zero, możemy bezpiecznie ocenić monotoniczny wzrost funkcji w tym zakresie i na odwrót. Wartości ujemne pierwszej pochodnej charakteryzują funkcję jako monotonicznie malejącą.

Korzystając z obliczonej pochodnej, określamySekcje wykresu, zwane wypukłościami, a także wklęsłości funkcji. Udowodniono, że jeśli w trakcie obliczeń pochodna funkcji jest ciągła i ujemna, wówczas wskazuje to na wypukłość, ciągłość drugiej pochodnej i jej wartość dodatnia wskazuje na wklęsłość wykresu.

Znajdowanie momentu, w którym następuje zmiana znakudruga pochodna lub obszary, w których nie istnieje, wskazuje na definicję punktu przegięcia. Jest to granica w interwałach wypukłości i wklęsłości.

Pełne badanie funkcji nie kończy się napowyższe punkty, ale użycie rachunku różniczkowego znacznie upraszcza ten proces. Jednocześnie wyniki analizy mają maksymalny stopień wiarygodności, co umożliwia skonstruowanie wykresu całkowicie odpowiadającego właściwościom badanych funkcji.